Οι Πανεπιστημιακές Εκδόσεις Κρήτης επανεξέδωσαν, σχετικώς πρόσφατα, το έργο του σκωτικής καταγωγής μαθηματικού, Eric Temple Bell (1883-1960), Οι μαθηματικοί,[1] το οποίο αναφέρεται στον βίο και στα επιτεύγματα σπουδαίων μαθηματικών, από τον Ζήνωνα έως τον Πουανκαρέ. Η πρωτοτυπία του εντοπίζεται στην έμφαση που δίνει ο συγγραφέας του στις ζωές των μαθηματικών, και μέσω αυτών στην παρουσίαση των επιτευγμάτων τους στη μαθηματική επιστήμη. Η αφήγηση διακρίνεται από μια «σταθμισμένη» εξιστόρηση περιστατικών από τη ζωή των μαθηματικών, ταυτόχρονα με την παρουσίαση των μαθηματικών επιτευγμάτων τους. Η αφήγηση του Bell φθάνει μέχρι τον μεγάλο Γάλλο μαθηματικό Ανρί Πουανκαρέ (Henri Poincaré, 1854-1912). Μας έλειπε, λοιπόν, κάποιο βιβλίο που να καλύπτει, στο ίδιο πάντοτε πνεύμα, τους μαθηματικούς του 20ού αιώνα. Το κενό αυτό ήρθε να καλύψει το τελευταίο έργο του Τεύκρου Μιχαηλίδη, το οποίο σπεύδω από την αρχή να τονίσω ότι αξίζει να εκδοθεί και σε άλλες γλώσσες, πέραν της ελληνικής, διότι είναι καλογραμμένο, εύληπτο και, κυρίως, το διακρίνει μια εξαιρετική ισορροπία ανάμεσα στο αφηγηματικό και το αμιγώς μαθηματικό περιεχόμενό του. Όπως και μια «φρεσκάδα», ωραίο χιούμορ (όπου πρέπει) κι ένας αφηγηματικός οίστρος που συνεπαίρνει τον αναγνώστη.
Παρουσιάζοντας αυτό το βιβλίο, ας μου επιτραπεί να ξεκινήσω από την επισήμανση των τεσσάρων μεγάλων τομών –ή, αλλιώς, καινοτομιών– στην ιστορία των Μαθηματικών του 20ού αιώνα, όπως ο Μιχαηλίδης τις εκθέτει αναλυτικά σε αυτό το έργο αλλά και τις παρουσιάζει συνοπτικά σε ένα σχετικό βιντεάκι των Πανεπιστημιακών Εκδόσεων Κρήτης στο ΥouΤube.[2] Δανείζομαι, μάλιστα, τα δικά του ακριβώς λόγια σε αρκετά σημεία της ενότητας του παρόντος κειμένου που αμέσως ακολουθεί, προτού προχωρήσω, στη συνέχεια, στο πλαίσιο της δεύτερης ενότητας, στην αναλυτική παρουσίαση του περιεχομένου του βιβλίου, που θα τη συνοδεύσουν και οι δικές μου κρίσεις.
Ι. Οι μεγάλες τομές/καινοτομίες στα μαθηματικά του 20ού αιώνα
Στην αυγή του 20ού αιώνα, τα μαθηματικά δεν τα απασχολούν πλέον το πρόβλημα των παραλλήλων –μετά την εμφάνιση της γεωμετρίας Λομπατσέφσκι-Μπόιγιαϊ και της γεωμετρίας Ρήμαν, από τις οποίες απουσιάζει το πέμπτο αξίωμα-αίτημα του Ευκλείδη, σύμφωνα με το οποίο από σημείο εκτός ευθείας μία και μόνον παράλληλη μπορεί να αχθεί προς δεδομένη ευθεία–, το πρόβλημα των κατασκευών με κανόνα και διαβήτη, καθώς και το πρόβλημα της επίλυσης πολυωνυμικών εξισώσεων υψηλού βαθμού. Όμως, κάθε πρόβλημα που επιλύεται γεννά ένα νέο.
Έτσι, η ύπαρξη πολλών διαφορετικών αξιωματικών συστημάτων έθεσε αυτόματα το πρόβλημα της ορθής θεμελίωσης των μαθηματικών. Αυτή υπήρξε η πρώτη μεγάλη τομή, η πρώτη μεγάλη πρόκληση για τα μαθηματικά του 20ού αιώνα. Ο Χίλμπερτ επιδίωξε να βρεθεί ένα σύστημα κωδικοποίησης της μαθηματικής γλώσσας, δηλαδή ένας τρόπος που να εξασφαλίζει με απόλυτο αυτοματισμό το αν ένα σύστημα αξιωμάτων είναι μη αντιφατικό ή όχι.[3] Οι προσδοκίες του Χίλμπερτ διαψεύστηκαν από τα αποτελέσματα μαθηματικών εργασιών του Τούρινγκ, του Γκέντελ και του Τσερτς. Ο Γκέντελ, μάλιστα, απέδειξε ότι κάθε μαθηματικό σύστημα αξιωμάτων θα περιέχει μη αποκρίσιμες προτάσεις, δηλαδή προτάσεις που δεν μπορούν να χαρακτηριστούν ούτε ως αληθείς ούτε ως ψευδείς μέσα στο συγκεκριμένο σύστημα, οπότε αυτό δεν θα μπορεί, από μόνο του, σε καμία περίπτωση, να αποδείξει τη συνέπειά του. Παρά ταύτα, ουδέν κακόν αμιγές καλού, αφού η απόπειρα κωδικοποίησης της μαθηματικής γλώσσας απέφερε ως αποτέλεσμα, π.χ., τις «μηχανές Τούρινγκ». Οι τελευταίες προσπαθούν να μιμηθούν την ανθρώπινη σκέψη και, αφενός μεν, οδήγησαν στην απόδειξη που αναζητούσε ο Τούρινγκ στη μελέτη του, Υπολογίσιμοι αριθμοί, με εφαρμογή στο Entscheidungsproblem[4] -που συνεπάγεται την ύπαρξη αντιστοίχου συμπεράσματος με αυτό του Γκέντελ, αυτή την φορά στη θεωρία υπολογισμού-, αφετέρου αποτέλεσαν μία από τις βάσεις για την ανάπτυξη της πληροφορικής και της πολυσυζητούμενης, σήμερα, τεχνητής νοημοσύνης. Ο αιώνας της πληροφορικής αρχίζει τότε.
Η δεύτερη μεγάλη τομή στα Μαθηματικά του περασμένου αιώνα αφορά μια νέα προσέγγιση στην έννοια του απείρου. Μέχρι τότε, υπήρχε μόνον η έννοια του δυνάμει απείρου, π.χ., οι ευθείες του Ευκλείδη, οι οποίες είναι ευθύγραμμα τμήματα που μπορούν να επεκταθούν απεριόριστα. Τώρα προστίθεται το θέσει άπειρο. Ο Κάντορ επινόησε τη θεωρία συνόλων. Με βάση τα σύνολα και την 1-1 αντιστοιχία, όρισε τους πληθάριθμους και έτσι μπόρεσε να δώσει και τον ορισμό του απειροσυνόλου. Μόνο που η 1-1 αντιστοιχία τον οδήγησε να αντιληφθεί ότι δεν υπάρχει ένα μόνο θέσει άπειρο, καθώς θέσει άπειρο είναι το αριθμήσιμο, δηλαδή των αριθμών 1, 2, 3…, αλλά υπάρχει και το θέσει άπειρο του συνεχούς, των σημείων ενός ευθυγράμμου τμήματος. Η πρωτοποριακή αυτή επινόηση του Κάντορ δεν μπορούσε να γίνει εύκολα αποδεκτή στην εποχή του. Οι λόγοι ήταν αφενός μεν θεολογικοί, αφού άπειρος μπορεί να είναι μόνο ο Θεός και μόνο αυτός δικαιούται να «καταπιάνεται» με το θέμα του απείρου, αφετέρου δε μαθηματικοί, δεδομένου ότι η έννοια του απείρου ερχόταν σε πλήρη αντίθεση με τον τότε αποδεκτό από τη μαθηματική κοινότητα τρόπο κατασκευής μαθηματικών αντικειμένων. Ιδού τι γράφει επ’ αυτού ο Μιχαηλίδης στο βιβλίο του:
Εκείνη την εποχή στο γερμανικό μαθηματικό στερέωμα κυριαρχούσε ο σπουδαίος μαθηματικός Λέοπολντ Κρόνεκερ, που είχε ωστόσο υπερβολικά συντηρητικές απόψεις για τη μαθηματική δημιουργία. Θεωρούσε ότι τα μόνα αποδεκτά μαθηματικά αντικείμενα ήταν αυτά που μπορούσαν να κατασκευαστούν βήμα προς βήμα, και μάλιστα ύστερα από ένα πεπερασμένο πλήθος βημάτων. Συνεπώς αμφισβητούσε τη δυνατότητα ύπαρξης άρρητων, πόσο μάλλον υπερβατικών αριθμών. Κι ερχόταν τώρα αυτός ο νεαρός μαθηματικός, ο Κάντορ, να παρουσιάσει κάποιους ακόμα πιο ασύλληπτους και μυστηριώδεις αριθμούς, τους οποίους αποκαλούσε υπερπεπερασμένους. Και το χειρότερο: Αυτοί οι αριθμοί θα υλοποιούσαν το «επικίνδυνο» και «αιρετικό» θέσει άπειρο – όχι απλώς ένα άπειρο που απλώς περιγράφει μια ατέρμονη διαδικασία, αλλά ένα άπειρο που έχει ολοκληρωμένη οντότητα. Ο Κρόνεκερ δεν υπήρξε φειδωλός στους χαρακτηρισμούς του για τον πρώην μαθητή του: «τσαρλατάνος», «αποστάτης», «διαφθορέας της νεολαίας», ήταν μερικές από τις κοσμητικές φράσεις που χρησιμοποίησε.
Η τρίτη μεγάλη τομή αφορά τη μετατόπιση του μαθηματικού ενδιαφέροντος από το αντικείμενο στη δομή. Χάρη στη δουλειά της γερμανίδας μαθηματικού, Ναίτερ, οι αριθμοί, οι γεωμετρικοί μετασχηματισμοί και οι συναρτήσεις, δηλαδή μαθηματικά αντικείμενα εντελώς διαφορετικά μεταξύ τους, εξετάζονται από κοινού στο πλαίσιο μιας δομής. Επίσης, χάρη στον Χίμπερτ, η αφαίρεση, από τελικό προϊόν της μαθηματικής έρευνας, έγινε ένα πανίσχυρο ερευνητικό εργαλείο. Είναι πολύ ενδιαφέρον ότι η επίλυση ορισμένων αριθμοθεωρητικών προβλημάτων, όταν έγινε η προαναφερθείσα «μετάβαση» από το ένα επίπεδο στο άλλο –όταν, δηλαδή, οι αριθμοί θεωρήθηκαν αντικείμενα μιας συγκεκριμένης δομής–, κατέστη πιο εύκολη, έγινε πολύ πιο απλά. Αυτή η μεθοδολογική προσήλωση στη δομή ονομάστηκε στρουκτουραλισμός και βρήκε εφαρμογές και σε άλλες επιστήμες, όπως π.χ. η εθνολογία, η ψυχολογία αλλά ακόμη και η μελέτη της λογοτεχνικής παραγωγής.
Η τέταρτη μεγάλη τομή στα Μαθηματικά συνίσταται σε μια νέα στροφή προς τη Φύση, προσφέροντας μια νέα προσέγγισή της. Σύμφωνα με ένα θεώρημα της Ναίτερ, όλα τα διατηρούμενα φυσικά μεγέθη, όπως η ενέργεια και η στροφορμή, συνδέονται –το καθένα απ’ αυτά– με μια διαφορετική μαθηματική συμμετρία. Επιβεβαιώνεται, έτσι, για μια ακόμη φορά, η φράση του Γαλιλαίου ότι το μεγάλο βιβλίο της φύσης είναι γραμμένο στη γλώσσα των μαθηματικών. Προς αυτή την κατεύθυνση, ο Μάντελμπροτ, παρατηρώντας ότι πολλά σχήματα στη φύση είναι τόσο ακανόνιστα ώστε τη μορφή τους δεν μπορεί να περιγράψει η ευκλείδεια γεωμετρία –π.χ., το βουνό δεν είναι κώνος και η μορφολογία μιας ακτής δεν συνιστά μια λεία καμπύλη–, επινόησε τη μορφοκλασματική γεωμετρία.
ΙΙ. Η δομή του βιβλίου
Έχοντας πλέον αναφέρει τις, κατά τον Μιχαηλίδη, τέσσερις μεγάλες τομές/καινοτομίες στα μαθηματικά του 20ού αιώνα, υπεισέρχομαι στην παρουσίαση της δομής του βιβλίου του. Αυτή έχει άξονα την περίφημη ομιλία του Ντάβιντ Χίλμπερτ, στο Διεθνές Συνέδριο των Μαθηματικών του 1900, στο Παρίσι. Τότε, που, ενώπιον της διεθνούς μαθηματικής ελίτ του καιρού του, ο Χίλμπερτ έθεσε 23 προβλήματα –ή, για να το πούμε, πιο ορθά, αναφέρθηκε σε 23 τομείς μαθηματικού ενδιαφέροντος– που θεωρούσε ότι θα αποτελούσαν το αντικείμενο της ερευνητικής μαθηματικής δραστηριότητας κατά τον 20ό αιώνα. Σήκωσε, δηλαδή, το πέπλο και προσπάθησε να δει ποιο θα είναι το μέλλον της μαθηματικής επιστήμης στον αιώνα που μόλις τότε είχε ανατείλει, εξ ου και ο τίτλος του βιβλίου του Μιχαηλίδη, Πίσω από το πέπλο. Ιδού τι ακριβώς είπε επ΄αυτού ο Χίλμπερτ στην ομιλία του:
Και ποιος ανάμεσά μας δεν θα ήθελε να ανασηκώσει το πέπλο πίσω απ’ το οποίο κρύβεται το μέλλον; Να ρίξει μια ματιά στις μελλοντικές προόδους της επιστήμης μας και να γνωρίσει τα μυστικά και τις εξελίξεις των επερχομένων αιώνων. Να μάθει τους ακριβείς στόχους προς τους οποίους θα στραφούν οι προσπάθειες των κορυφαίων μυαλών των ερχόμενων γενεών;
Παρενθετικά αναφέρω ότι η ομιλία του Χίλμπερτ είχε τόσο μεγάλη απήχηση στους μαθηματικούς, ώστε σε αυτήν δεν αναφέρονται, ακόμη και σήμερα, μόνον οι ερευνητές μαθηματικοί, αλλά και παιδαγωγοί που θέλουν να τονίσουν την αξία που έχει η επίλυση μεμονωμένων προβλημάτων σαν αυτά που τίθενται στους μαθηματικούς διαγωνισμούς – περιστέλλοντας, ασφαλώς, με αυτόν τον τρόπο, το περιεχόμενο που είχε η έννοια «μαθηματικό πρόβλημα» στην εν λόγω ομιλία. Το σημειώνω, έχοντας κατά νου ένα θαυμάσιο σχετικό κείμενο του Murray S. Klamkin, εξαίρετου λύτη προβλημάτων, στη στήλη “The Olympiad Corner” της οποίας είχε την ευθύνη –ήταν δηλαδή ο editor– επί μακρά σειρά ετών, στο περιοδικό Crux Mathematicorum.
Wikipedia
Ο Georg Cantor. Ο Κάντορ επινόησε τη θεωρία συνόλων. Με βάση τα σύνολα και την 1-1 αντιστοιχία, όρισε τους πληθάριθμους και έτσι μπόρεσε να δώσει και τον ορισμό του απειροσυνόλου. Μόνο που η 1-1 αντιστοιχία τον οδήγησε να αντιληφθεί ότι δεν υπάρχει ένα μόνο θέσει άπειρο, καθώς θέσει άπειρο είναι το αριθμήσιμο, δηλαδή των αριθμών 1, 2, 3…, αλλά υπάρχει και το θέσει άπειρο του συνεχούς, των σημείων ενός ευθυγράμμου τμήματος.
Στην περίπτωσή μας, όμως, ο Μιχαηλίδης επιλέγει ως καμβά πάνω στον οποίο αναπτύσσει την αφήγησή του την ομιλία του Χίλμπερτ, με την επίγνωση, πρώτον, ότι η μαθηματική έρευνα στον εικοστό αιώνα απέκτησε πιο συλλογικό χαρακτήρα σε σχέση με προηγούμενες εποχές – χωρίς να λείπουν και πιο «προσωπικά» επιτεύγματα, όπως η απόδειξη του Τελευταίου Θεωρήματος του Φερμά από τον Γουάιλς και της εικασίας του Πουανκαρέ από τον Πέρελμαν. Και δεύτερον, ότι αυτό που προσδίδει στα μαθηματικά του 20ού αιώνα τον ιδιαίτερο χαρακτήρα τους είναι το ενδεχόμενο να βρισκόμαστε μπροστά σε μια νέα αλλαγή παραδείγματος, με την κουνιανή έννοια. Όπως αναφέρει στον Πρόλογο του βιβλίου του, ο Μιχαηλίδης:
Η απόδειξη –και συνεπώς η μαθηματική επιστήμη όπως σήμερα τη γνωρίζουμε– γεννήθηκε στην αρχαία Ελλάδα. Αλγοριθμική και αποδεικτική, πορεύτηκαν από κοινού για δυόμισι χιλιάδες χρόνια: κάποιοι μαθηματικοί επινοούσαν τις μεθόδους και κάποιοι άλλοι έσπευδαν να τις επικυρώσουν με αποδείξεις ολοένα αυστηρότερες βάσει των αρχών της αριστοτελικής λογικής.
Για να αναδείξει την επελθούσα αλλαγή, ο συγγραφέας αποδίδει ιδιαίτερη σημασία στην εισαχθείσα το 1888 από τον Χίλμπερτ «απόδειξη υπάρξεως» ενός μαθηματικού αντικειμένου που δεν συνοδεύεται από κάποιον αλγόριθμο κατασκευής του. Συνετελέσθη, λοιπόν, τότε, μια «αλλαγή παραδείγματος» και η συζήτηση γι’ αυτή τη νέα κουλτούρα μαθηματικής έρευνας κυριάρχησε κατά τον 20ό αιώνα, όπως θα διαπιστώσει ο αναγνώστης του βιβλίου. Από την άλλη, είναι αξιοσημείωτο ότι στον 21ο αιώνα, στη συζήτηση για τη μαθηματική μέθοδο, επανακάμπτει η αλγοριθμική απόδειξη. Όπως εύστοχα το θέτει ο Μιχαηλίδης,
φαίνεται πως η επανάσταση της πληροφορικής, με την έλευση των πανίσχυρων ηλεκτρονικών υπολογιστών, οδήγησε σε μια νέα μεταστροφή: οι αλγοριθμικές μέθοδοι αναβαθμίζονται, και κάθε μέρα γίνονται αποτελεσματικότερες. Ας μην παραβλέπουμε όμως και τις επιφυλάξεις που εκφράζονται από διάφορες αξιόπιστες φωνές, οι οποίες προειδοποιούν πως η «εισβολή» των υπολογιστών στη μαθηματική έρευνα ενδέχεται να αποτελέσει ανασταλτικό παράγοντα για τη δημιουργικότητα.
O Μιχαηλίδης επιλέγει να μιλήσει στα 14 από τα 15 κεφάλαια που απαρτίζουν το βιβλίο του για μαθηματικούς που άνοιξαν νέους δρόμους στα μαθηματικά του 20ού αιώνα. Υπήρξαν ασφαλώς και άλλοι, και μάλιστα πολλοί, που είχαν πρωτότυπες ιδέες, οι οποίες όμως «προεξέτειναν» ή «εκλέπτυναν» το ήδη υπάρχον. Προηγείται των 15 κεφαλαίων μια «Εισαγωγή» για την «belle epoque των Μαθηματικών», δηλαδή την περίοδο 1890-1910, με πρωταγωνιστές τους Πουανκαρέ και Κάντορ, δύο κορυφαία και πολύπλευρα επιστημονικά μυαλά. Εν προκειμένω συνυπογράφω το ακόλουθο συμπέρασμα του συγγραφέα:
Αποτιμώντας το έργο του Πουανκαρέ, θα μπορούσαμε να τον περιγράψουμε ως έναν άνθρωπο του 19ου αιώνα, που ωστόσο διέβλεψε τις εξελίξεις του 20ού. Για τον Κάντορ, πάλι, αν και οι σημαντικότερες δημοσιεύσεις του έγιναν προ του 1890, θα λέγαμε ότι, γυρίζοντας την πλάτη προς τον αιώνα που τον ανέθρεψε, δεν δίστασε να βαδίσει με τόλμη προς τον αιώνα που ετοιμαζόταν να ανατείλει. Είχε το θάρρος –το θράσος, θα λέγαμε καλύτερα– να υποστηρίξει ανοιχτά το θέσει άπειρο, μια έννοια που αποστρεφόταν ακόμα και ο μεγάλος Γκάους. Κι όταν οι έρευνές του τον οδήγησαν στη διαπίστωση πως η μοναδικότητα της αριθμητικής ήταν αντικείμενο προς απόδειξη, δεν δίστασε να δημοσιοποιήσει τις αμφιβολίες του, στρέφοντας το σύνολο σχεδόν της μαθηματικής κοινότητας εναντίον του και τινάζοντας στον αέρα τη σταδιοδρομία του.
Είναι ενδιαφέρον ότι ο Μιχαηλίδης, σε κεφάλαια που δεν αφορούν έναν αλλά περισσότερους μαθηματικούς, επιλέγει να μας παρουσιάσει, με αφορμή και επίκεντρο της αφήγησής του πάντοτε μια νέα εξέλιξη ή κάποια νέα ιδέα στη μαθηματική επιστήμη, μαθηματικούς που έχουν κοινά ή αποκλίνοντα μεταξύ τους χαρακτηριστικά ως προσωπικότητες. Πρόκειται για ένα ενδιαφέρον συγγραφικό «τέχνασμα», που γεννά στον αναγνώστη συναισθήματα διαφόρων ειδών και τον οδηγεί σε συγκρίσεις. Ένα τέτοιο παράδειγμα είναι το κεφάλαιο, «Τα αστέρια της Λουζιτανίας», που αφορά την ιστορία της δημιουργίας της «μοσχοβίτικης μαθηματικής σχολής», με ήρωες τους Ντμίτρι Εγκόροφ, Νικολάι Λούζιν –εξ ου και η «Λουζιτανία»–, Πάβελ Αλεξάντροφ, Αντρέι Κολμογκόροφ και Βλαντίμιρ Άρνολντ. Η ανάγνωση του κεφαλαίου με παρέπεμψε στο ωραίο βιβλίο των Lorean Graham και Jean-Michel Kantor, Ονοματίζοντας το άπειρο. Μια αληθινή ιστορία θρησκευτικού μυστικισμού και μαθηματικής δημιουργικότητας, σε μετάφραση –ποιου άλλου;– του Μιχαηλίδη.[5] Για να διεγείρω την περιέργεια των μελλοντικών αναγνωστών του βιβλίου που εδώ παρουσιάζω, αξίζει να πω ότι καταλυτική σημασία στις ζωές των μαθηματικών Εγκόροφ και Λούζιν –όπως και του θεολόγου Φλωρένσκι[6], που αναφέρεται κι αυτός, σε κάποιο σημείο του κεφαλαίου– έπαιξε το γεγονός ότι όλοι τους είχαν ασπαστεί την ονοματολατρία, μια αίρεση της Ρωσικής Ορθόδοξης Εκκλησίας, η οποία γεννήθηκε στη ρωσική μονή του Αγίου Παντελεήμονος στο Άγιον Όρος και σταδιακά διαδόθηκε σε ολόκληρη τη Ρωσία. Ένα άλλο παράδειγμα είναι το 11ο κεφάλαιο, με τίτλο «Βίοι παράλληλοι», που αφορά το έργο και την προσωπικότητα του σπουδαίου άγγλου μαθηματικού Χάρντυ αλλά και δύο ακόμη μαθηματικών, το έμφυτο ταλέντο των οποίων είναι από τα πιο σπάνια και μεγάλα, όχι μόνο ατον 20ό αιώνα αλλά σε ολόκληρη, ενδεχομένως, την ιστορία της μαθηματικής επιστήμης: πρόκειται για τον σχεδόν αυτοδίδακτο, Σρινιβάσα Ραμάνουτζαν, και τον Αλεξάντρ Γκρότεντικ. Είναι βέβαιο ότι αποτελεί θράσος εκ μέρους μου το να προβαίνω σε συγκρίσεις τόσο σημαντικών μαθηματικών, όμως, παρά ταύτα, τολμώ να πω ότι ο Γκρότεντικ, λόγω του ότι υπήρξε ο θεμελιωτής της Αλγεβρικής Γεωμετρίας και η σκέψη του διακρινόταν από το πιο υψηλό επίπεδο αφαίρεσης που συναντά κανείς στα μαθηματικά, είναι ο μαθηματικός του 20ού αιώνα μπροστά στο έργο του οποίου μένω πραγματικά εκστατικός, άφωνος.
Konrad Jacobs
Η Amalie Emmy Noether. H Ναίτερ σκέφτηκε πάνω στη μετατόπιση του μαθηματικού ενδιαφέροντος από το αντικείμενο στη δομή. Και χάρη στη δουλειά της, οι αριθμοί, οι γεωμετρικοί μετασχηματισμοί και οι συναρτήσεις, δηλαδή μαθηματικά αντικείμενα εντελώς διαφορετικά μεταξύ τους, εξετάζονται από κοινού στο πλαίσιο μιας δομής.
Άλλα παραδείγματα εύστοχης «ομαδοποίησης» μαθηματικών γύρω από ένα κοινό μαθηματικό ζήτημα ή κάποια κοινή μαθηματική πρωτοβουλία, είναι το κεφάλαιο 7 με τίτλο «Η τριανδρία του μέτρου» και πρωταγωνιστές τους Ανρί Λεμπέγκ, Εμίλ Μπορέλ και Ρενέ Μπαιρ, το κεφάλαιο 10 με τίτλο «Επαναστάτες και Δικτάτορες» που έχει αντικείμενο μελέτης την ομάδα των γάλλων μαθηματικών οι οποίοι υπέγραφαν ως Νικολά Μπουρμπακί, το κεφάλαιο 12 με τον ενδεικτικό τίτλο «Χαοτικές διαδρομές» και με ήρωες του Μπενουά Μάντελμπροτ, Γκαστόν Ζυλιά, Έντουαρντ Λόρεντζ, Μίτσελ Φαϊγκεκνμπάουμ και Στήβεν Σμέιλ, το κεφάλαιο 13 με τίτλο «Τα δισέγγονα του Διόφαντου που αφορά την Τζούλια Ρόμπινσον και τον Γιούρι Ματιγιάσεβιτς,[7] καθώς και το κεφάλαιο 14 με τίτλο «Τα μεγάλα προβλήματα» που επικεντρώνεται σε μαθηματικούς οι οποίοι, σύμφωνα με τη διάκριση του Τίμοθυ Γκάουερς, ανήκουν στους «λύτες προβλημάτων» (όχι στους «δημιουργούς θεωριών»)[8]: αυτοί είναι οι Άντριου Ουάιλς, Γκριγκόρι Πέρελμαν, ο ημέτερος Χρίστος Παπακυριακόπουλος, ο Πωλ Έρντος και ο Άλαν Μπέηκερ. Υπάρχουν στο βιβλίο και μαθηματικοί που «μονοπώλησαν» τα κεφάλαια στα οποία ο συγγραφέας αναλύει το έργο και την προσωπικότητά τους, με αφορμή μια συγκεκριμένη μαθηματική ιδέα. Αυτοί είναι ο Κουρτ Γκαίντελ, ο Άλαν Τούρινγκ, ο Κλωντ Σάννον, ο Τζων φον Νόυμαν, ο Κωνσταντίνος Καραθεοδωρή και η μοναδική, από κάθε άποψη, Έμμυ Ναίτερ. Στο κεφάλαιο γι’ αυτήν, με τίτλο «Εβραία και γυναίκα σε έναν ανδροκρατούμενο, αντισημιτικό κόσμο». παρουσιάζεται, συνδυαστικά, και το έργο του Χέρμαν Βάυλ. Δεν υπάρχει περίπτωση να είναι κανείς δημοκράτης και αντισεξιστής και να μη νιώσει ντροπή, διαβάζοντας σε αυτό το κεφάλαιο τις εις βάρος των γυναικών προκαταλήψεις που επικρατούσαν στην εποχή της Ναίτερ στα υψηλά κλιμάκια της γερμανικής πανεπιστημιακής κοινότητας. Ήταν τότε που ο Χίμπερτ, επιθυμώντας να υποστηρίξει τη δυνατότητα –πιο ορθά, το δικαίωμα– της Ναίτερ να γίνει καθηγήτρια στο Γκαίτινγκεν, αναφώνησε: «Επιτέλους, η Σύγκλητος δεν είναι δημόσια λουτρά».
Το 15ο και τελευταίο κεφάλαιο, με τίτλο «Όρια και προοπτικές», αφορά το ποια είναι τα μαθηματικά προβλήματα που θα απασχολήσουν τους μαθηματικούς του 21ου αιώνα. Σε αυτό παρατίθενται και τα 7 ερωτήματα που το Μαθηματικό Ινστιτούτο Clay, το οποίο ιδρύθηκε το 1998, επικήρυξε με το ποσό του ενός εκατομμυρίου δολαρίων για το καθένα από αυτά.
Αξίζει, επιπλέον, να τονιστεί η μεγάλη αξία των Σημειώσεων που παρατίθενται στο τέλος κάθε κεφαλαίου. Αυτές παρέχουν πληροφορίες όχι μόνον ιστοριογραφικού αλλά και αυστηρώς μαθηματικού περιεχομένου. Βοηθούν στην περαιτέρω κατανόηση γεγονότων και εννοιών που παρουσιάζονται στο κυρίως κείμενο και προτρέπουν τον αναγνώστη σε περαιτέρω μελέτη διάφορων θεμάτων. Νομίζω ότι οι Σημειώσεις στο βιβλίο του Μιχαηλίδη το καθιστούν, από πλευράς μαθηματικού βάθους, υπέρτερο εκείνο του Bell. Ας δώσουμε ένα μόνο παράδειγμα της χρησιμότητας μιας υποσημείωσης, η κατανόηση της οποίας δεν απαιτεί ιδιαίτερες μαθηματικές γνώσεις, πλην όμως αποκαλύπτει το βάθος της έρευνας και των γνώσεων του Μιχαηλίδη στο συγκεκριμένο θέμα. Στο κεφάλαιο 11, με τίτλο, όπως προανέφερα, «Βίοι παράλληλοι», αναφέρονται για τον Χάρντυ, μεταξύ άλλων, τα ακόλουθα στο κυρίως κείμενο:
Την εποχή που ο Χάρντυ άρχισε να δραστηριοποιείται ως μαθηματικός ερευνητής, ο τομέας αυτός στη Μεγάλη Βρετανία ήταν προσανατολισμένος στις εφαρμογές, ενώ το επίπεδο των καθαρών μαθηματικών ήταν ιδιαίτερα χαμηλό. Το βιβλίο Μάθημα στα καθαρά Μαθηματικά (1908), εμπνευσμένο από γαλλικά και γερμανικά εγχειρίδια, συνεισέφερε σημαντικά στην αντιστροφή αυτής της τάσης.
Στο σημείο αυτό παρατίθεται η Σημείωση Νο 15 αυτού του κεφαλαίου, όπου αναφέρονται επεξηγηματικά τα ακόλουθα άκρως ενδιαφέροντα και κατατοπιστικά:
O Χάρντυ διακήρυσσε συνεχώς και προς πάσα κατεύθυνση ότι ήταν αντίθετος σε κάθε πρακτική εφαρμογή των μαθηματικών και ότι τα υπηρετούσε αποκλειστικά για την αισθητική τους τελειότητα. Ωστόσο, σε δύο τουλάχιστον περιπτώσεις διαψεύστηκε. Το 1908 δημοσίευσε ένα άρθρο στο οποίο γενίκευε τον νόμο του Μέντελ σχετικά με το πώς διαδίδονται σε μεγάλους πληθυσμούς οι επικρατείς και οι υπολειπόμενοι γενετικοί χαρακτήρες. Το βασικό θεώρημα του άρθρου, γνωστό σήμερα ως νόμος Χάρντυ-Ουάινμπεργκ, καταρρίπτει την άποψη πως «οι επικρατείς χαρακτήρες έχουν την τάση να εξαπλώνονται σε ολόκληρο τον πληθυσμό, ενώ οι υπολειπόμενοι τείνουν να εξαφανίζονται». Μια συνέπεια αυτού του νόμου είναι η κατάρριψη της ευγονικής θεωρίας του Σερ Φράνσις Γκάλτον, σύμφωνα με την οποία η παρεμπόδιση της αναπαραγωγής ορισμένων ατόμων με «ανεπιθύμητα» χαρακτηριστικά θα έχει ως αποτέλεσμα την εξαφάνιση αυτών των χαρακτηριστικών. Ο νόμος Χάρντυ-Ουάινμπεργκ βρήκε επίσης ευρεία εφαρμογή στη μελέτη της κατανομής των διαφόρων ομάδων αίματος. Η δεύτερη διάψευση ήρθε στις μέρες μας, που οι ιδιότητες των πρώτων αριθμών (ένας τομέας στον οποίο ο Χάρντυ συνεισέφερε τα μέγιστα) αποτελούν τη βάση για την κωδικοποίηση στο διαδίκτυο.
Ας μου επιτραπεί, στο σημείο αυτό, να προσθέσω και μία ακόμη περίπτωση κατά την οποία ένα μαθηματικό αποτέλεσμα του Hardy έχει πρακτική εφαρμογή. Ο Mark Kac αναφέρει σε δημοσίευμά του ότι κάποιο αποτέλεσμα των Χάρντυ και Ραμάνουτζαν στην καθαρή θεωρία αριθμών εφαρμόζεται σε ένα πρόβλημα κατανομής ενεργειακών επιπέδων στο εσωτερικό του πυρήνα ενός ατόμου.[9]
IΙΙ. Δύο επιπλέον σκέψεις και…η τελική κρίση
Ολοκληρώνοντας την παρουσίαση του βιβλίου, Πίσω από το πέπλο, χωρούν, θαρρώ, και τα ακόλουθα δύο σχόλια. Πρώτον, ίσως να άξιζε να είχε συμπεριληφθεί στα σημαντικά μαθηματικά επιτεύγματα που πραγματοποιήθηκαν κατά τον 20ό αιώνα, η συνολική δουλειά του Δημήτρη Χριστοδούλου στη Μαθηματική Γενική Σχετικότητα. Αν μη τι άλλο, η κοινή του εργασία με τον Sergiu Kleinerman πάνω στην καθολική μη γραμμική ευστάθεια του χώρου Μινκόφσκι αποτελεί έργο μεγάλης πρωτοτυπίας και αποτέλεσε σταθμό στη μελέτη των μαθηματικών της γενικής σχετικότητας. Είναι το πρώτο έργο του Δημήτρη Χριστοδούλου στο οποίο κάνει χρήση της γεωμετρικής ανάλυσης υπερβολικών διαφορικών εξισώσεων. Σε αυτό οι δύο συγγραφείς αποδεικνύουν την ευστάθεια του επίπεδου χωροχρόνου της Ειδικής Σχετικότητας στο πλαίσιο της Γενικής Σχετικότητας. Δίνουν επίσης μια λεπτομερή περιγραφή της ασυμπτωτικής συμπεριφοράς των λύσεων.[10]
Η δεύτερη παρατήρηση είναι κοινωνιολογική: ξαφνιάζει δυσάρεστα η ιστορία με πρωταγωνιστή τον διάσημο γεωμέτρη, Σινγκ-Τουνγκ Γιάου, και δύο άλλους κινέζους μαθηματικούς, οι οποίοι προσπάθησαν «άκομψα», to say the least, να αμφισβητήσουν την πατρότητα της απόδειξης της εικασίας Πουανκαρέ από τον Πέρελμαν. Κοινά είναι λοιπόν, ως εκ της φύσεώς τους, τα ανθρώπινα πάθη και οι μικρότητες σε μορφωμένους και μη, σε απλούς ανθρώπους και σε μεγαλοφυΐες.
Εν κατακλείδι, το βιβλίο του Τεύκρου Μιχαηλίδη είναι εξαιρετικό, οπότε εύχομαι να είναι καλοτάξιδο, δηλαδή να διαβαστεί και να συζητηθεί όπως του αξίζει.
[1] Ε.Τ. Bell, Οι Μαθηματικοί. Ο βίος και τα επιτεύγματα σπουδαίων μαθηματικών, από τον Ζήνωνα έως τον Poincaré, μετάφραση: Μανόλης Μαγειρόπουλος – Νικηφόρος Σταματάκης, Ηράκλειο: Πανεπιστημιακές Εκδόσεις Κρήτης, 2022.
[2] Βλ. https://www.youtube.com/watch?v=hA7ONcRxuLc&t=290s.
[3] Αντί για τα πολλά καλά βιβλία και τις επιστημονικές μελέτες που υπάρχουν για το θέμα, προτείνω σε μικρούς και μεγάλους να διαβάσουν, ως μια εύληπτη και επιστημονικά ακριβή εισαγωγή στη μεγάλη περιπέτεια της Λογικής κατά την αναζήτηση μιας αξιωματικής θεμελίωσης των μαθηματικών κατά τα τέλη του 19ου αιώνα και τις αρχές του 20ού αιώνα, το συναρπαστικό graphic novel των Απόστολου Δοξιάδη και Χρίστου Χ. Παπαδημητρίου, με σχέδιο του Αλέκου Παπαδάτου, Logicomix (Αθήνα: Εκδόσεις Ίκαρος, 2011).
[4] Alan M. Turing, Υπολογίσιμοι αριθμοί, με εφαρμογή στο Entscheidungsproblem (Αθήνα: Εκδόσεις Τροχαλία, 1998). Ο τίτλος της μελέτης στο πρωτότυπο είναι “On computable numbers, with an application to the Entscheidungsproblem” και ίσως μια καλύτερη απόδοση στα ελληνικά του όρου computable είναι «λογιστοί».
[5] Loren Graham & Jean-Michel Kantor, Ονοματίζοντας το άπειρο – Μια αληθινή ιστορία θρησκευτικού μυστικισμού και μαθηματικής δημιουργικότητας, μετάφραση: Τεύκρος Μιχαηλίδης, Αθήνα: Εκδόσεις Αλεξάνδρεια, 2009.
[6] Για την εξέχουσα αυτή πνευματική προσωπικότητα, βλ. Avril Pyman, Pavel Florensky. The Tragic and Extraordinary Life of Russia’s Unknown da Vinci, New York-London: Continuum, 2010.
[7] Σε όσους έχουν καλή μαθηματική παιδεία, ας μου επιτραπεί να συστήσω τη μελέτη του ακόλουθου εξαίρετου βιβλίου: Γιούρι Β. Ματιγιάσεβιτς, Το Δέκατο Πρόβλημα του Hilbert, μετάφραση: Δημοσθένης Σταλίδης, Τρίκαλα: Ευρύαλος-Απόλλων, 2022.
[8] Timothy Gowers, Μαθηματικά. Μια συνοπτική εισαγωγή, μετάφραση: Αλέξανδρος Χορταράς, επιμέλεια: Γιάννης Παπαδόγγονας, Ηράκλειο: Πανεπιστημιακές Εκδόσεις Κρήτης, 2020.
[9] Mark Kac, "Mathematics: Tensions", στο βιβλίο των Mark Kac, Gian-Carlo Rota, and Jacob Т. Schwarz, Discrete Thoughts - Essays in Mathematics, Science, and Philosophy, Boston-Basel-Stuttgart: Birkhäuser, 1986, σελ. 12-13.
[10] Βλ. Γιώργος Λ. Ευαγγελόπουλος, «Δημήτρης Χριστοδούλου, ένας μεγάλος μαθηματικός», The Books’ Journal, τχ. 166, Ιούλιος 2025, σ. 48-52.
