Εάν κοιτάξουμε την ιστορία των βραβείων Νόμπελ Φυσικής, είναι η δεύτερη φορά που ο όρος «αλλαγή φάσης» εμφανίζεται στο επίσημο σκεπτικό. Η πρώτη φορά ήταν το 1982 όταν ο Kenneth G. Wilson πήρε το βραβείο «για τη θεωρία του των κρίσιμων φαινομένων σε σχέση με τις αλλαγές φάσης». Η θεωρία των αλλαγών φάσης είναι ένας μεγάλος τομέας τής στατιστικής φυσικής, η οποία είναι η μελέτη των μακροσκοπικών ιδιοτήτων τής ύλης που βασίζεται στη συλλογική συμπεριφορά των στοιχειωδών δομικών λίθων της. Η στατιστική φυσική είναι το βασικό θεωρητικό εργαλείο για τη μελέτη τής συμπυκνωμένης ύλης (σκληρής ή χαλαρής). Έτσι, με τον ένα ή τον άλλο τρόπο, εμπλέκεται και στα Νόμπελ που δόθηκαν για θεωρητικές μελέτες μαγνητικών υλικών (Néel το 1970), υπεραγωγιμότητας (Bardeen, Cooper, και Schrieffer το 1972, Abrikosov, Ginzburg και Leggett το 2003), υπερρευστότητας (Landau το 1962, Abrikosov, Ginzburg και Leggett το 2003), αλληλεπιδρώντων ηλεκτρονίων (Anderson, Mott και Van Vleck το 1977) και χαλαρής ύλης (De Gennesτο 1991). Από αυτή τη λίστα δεν μπορούμε να παραλείψουμε το πρώιμο Νόμπελ στον Vander Waals (1910) για τη φερώνυμη καταστατική εξίσωση αερίων και υγρών. Πρέπει να επισημάνουμε πως αν και το κοινό μοτίβο τού φετινού βραβείου είναι η τοπολογία, το βραβείο αναγνωρίζει τρία ξεχωριστά επιτεύγματα: τη δουλειά των Kosterlitz και Thouless γι’ αυτό που σήμερα είναι γνωστό ως αλλαγή φάσης ΚΤ (ή BKTHNY, όπως συχνά αναφέρεται στη βιβλιογραφία), τη δουλειά τού Thouless για την τοπολογική ερμηνεία τού κβαντικού φαινομένου Hall και τη δουλειά τού Haldane για τις τοπολογικές ιδιότητες κβαντικών αλυσίδων ιδιοστροφορμής (spin). Ενώ οι δύο τελευταίες εργασίες ανήκουν καθαρά στην περιοχή τής κβαντικής φυσικής (οι δομικοί λίθοι των αντιστοίχων συστημάτων είναι κβαντικά ηλεκτρόνια ή κβαντικές ιδιοστροφορμές), η αλλαγή φάσης ΚΤ είναι ένα κλασικό φαινόμενο. Σκοπός τού παρόντος σύντομου άρθρου είναι να προσπαθήσει να διαφωτίσει κάποιες πλευρές αυτού τού φαινομένου, από την προσωπική σκοπιά τού συγγραφέα.
Γιατί η θεωρία ΚΤ είναι τόσο σημαντική;
Όταν εξηγώ αλλαγές φάσης στους κορεάτες φοιτητές μου, κάνω αναφορά στο κεντρικό σύμβολο τής κορεατικής σημαίας. Μεταφορικά μιλώντας, το «Γιανγκ» κυριαρχεί στις υψηλές θερμοκρασίες, διεγείροντας τους δομικούς λίθους κάθε συστήματος που τείνουν να απλωθούν σε όλον τον διαθέσιμο χώρο, ενώ το «Ουμ» («Γιν», στα κινεζικά) κυριαρχεί σε χαμηλές θερμοκρασίες τακτοποιώντας τους δομικούς λίθους. Η μετάβαση από τις χαμηλές στις υψηλές θερμοκρασίες μπορεί να γίνει βαθμιαία και ομαλά ή μπορεί να επιφέρει μια απότομη αλλαγή στη συμπεριφορά τού συστήματος, το οποίο χωρίζεται σε δύο διακριτές φάσεις, κάτω και πάνω από μία κρίσιμη θερμοκρασία. Ίσως το πιο οικείο παράδειγμα είναι το λιώσιμο τού πάγου. Η βαθιά, θεωρητική κατανόηση των αλλαγών φάσης, ξεκινώντας από πρώτες αρχές, αποτελεί μεγάλη πρόκληση για τη στατιστική φυσική. Ακόμα και σήμερα, δεν έχουμε μία ικανοποιητική θεωρία για το λιώσιμο τού πάγου! Η μόνη πλήρως ανεπτυγμένη (παρά τα όποια ανοιχτά ερωτήματα που μπορεί να παραμένουν) θεωρία τήξεως που διαθέτουμε είναι η αλλαγή φάσης ΚΤ που εφαρμόζεται σε δισδιάστατα συστήματα υπό συγκεκριμένες προϋποθέσεις.
Τι το ιδιαίτερο έχουν οι δύο διαστάσεις;
Στη στατιστική φυσική υπάρχει η έννοια τής «ελάχιστης κρίσιμης διάστασης» (lower critical dimension). Είναι η διάσταση τού χώρου κάτω από την οποία μία «τακτοποιημένη» φάση τής ύλης είναι αδύνατη λόγω θερμικών διακυμάνσεων. Καθώς το σύστημα στριμώχνεται σε δύο διαστάσεις, ή σε μία διάσταση, μπορεί να υπάρχει πάρα πολύ «Γιανγκ» που να μην επιτρέπει στους δομικούς λίθους να τακτοποιηθούν. Έτσι, μπορεί να προκύψει μόνον μία φάση αταξίας, χωρίς καμία αλλαγή φάσης καθώς μεταβάλλουμε τη θερμοκρασία. Σύμφωνα με το θεώρημα Mermin-Wagner (1966), ένα δισδιάστατο σύστημα με συνεχή συμμετρία (π.χ., ένα σύστημα μαγνητικών ροπών με συγκεκριμένο μέγεθος, αλλά τυχαία κατεύθυνση, που είναι αμετάβλητο στις περιστροφές) και αλληλεπιδράσεις μικρού εύρους δεν μπορεί να έχει τάξη μεγάλου εύρους (long range order). Η τάξη περιγράφεται μαθηματικά από τις συσχετίσεις διαφορετικών δομικών λίθων. Εάν οι συσχετίσεις εμμένουν σε άπειρες αποστάσεις, τότε υπάρχει πραγματική τάξη μεγάλου εύρους. Επίσης, ο Hohenberg το 1967 είχε αποδείξει ότι, για τους ίδιους λόγους, σε δύο διαστάσεις δεν μπορεί να υπάρχει συμπύκνωση Bose-Einstein. Έτσι, φαινόταν αδύνατον να υπάρχει υπεραγωγιμότητα ή υπερρευστότητα στην «επιπεδοχώρα» των δύο διαστάσεων. Όμως, υπήρχαν ενδείξεις τόσο από πειράματα όσο και από υπολογιστικές προσομοιώσεις ότι κάποιες αλλαγές φάσεις μπορεί να συμβαίνουν και σε δύο διαστάσεις. Αυτό παρακίνησε τους Kosterlitz και Thouless, στις αρχές τής δεκαετίας τού 1970, να κατασκευάσουν μία θεωρία η οποία να δίνει αλλαγή φάσης σε δύο διαστάσεις, χωρίς όμως να συγκρούεται με τα παραπάνω θεωρήματα (τα οποία ισχύουν υπό συγκεκριμένες προϋποθέσεις!). Αν και η πραγματική τάξη μεγάλου εύρους παραμένει αδύνατη, η θεωρία τους προβλέπει τη μετάβαση από μια πραγματικά άτακτη φάση σε υψηλές θερμοκρασίες όπου οι συσχετίσεις εξασθενούν εκθετικά με την απόσταση σε μια ψευδο-τάξη μεγάλου εύρους (quasi-long-range order) όπου οι συσχετίσεις εξασθενούν, αλλά αλγεβρικά (αντιστρόφως ανάλογα προς μία δύναμη τής απόστασης) αντί για εκθετικά.
Τι είναι τοπολογικό στην αλλαγή φάσης ΚΤ;
Ίσως η πιο σημαντική ιδιαιτερότητα τής αλλαγής φάσης ΚΤ να είναι ότι η μετάβαση καθορίζεται όχι άμεσα από τις αλληλεπιδράσεις των υλικών δομικών λίθων τού συστήματος (π.χ. ηλεκτρόνια στην περίπτωση των υπεραγωγών, άτομα ηλίου στην περίπτωση υπέρρευστων υμενίων, κολλοειδή μικροσωματίδια στην περίπτωση κολλοειδών κρυστάλλων), αλλά έμμεσα από την αλληλεπίδραση των τοπολογικών ατελειών (topological defects) τής τάξης. Μια τοπολογική ατέλεια είναι μια ανωμαλία στο πεδίο τής παραμέτρου τάξης (η παράμετρος τάξης είναι μια παράμετρος που ξεχωρίζει την «τακτοποιημένη» φάση τού συστήματος, από την άτακτη φάση, στην οποία και μηδενίζεται) η οποία είναι αδύνατον να απαλειφθεί με κάποια συνεχή παραμόρφωση τού πεδίου. Σε αυτό το σημείο, θα ήθελα να τονίσω ότι αν και η παράμετρος τάξης στην υπεραγωγιμότητα και την υπερρευστότητα είναι εγγενώς κβαντικές, οι τοπολογικές ατέλειες στη θεωρία ΚΤ είναι κλασικές. Περιγράφονται σαν κλασικά σωματίδια με συγκεκριμένη θέση και ταχύτητα. Αυτό που έχει σημασία για την εμφάνιση τής αλλαγής φάσης ΚΤ είναι η ύπαρξη τοπολογικών ατελειών με την κατάλληλη συμμετρία και τις κατάλληλες αλληλεπιδράσεις. Είναι στρόβιλοι στην περίπτωση υπεραγωγών ή υπερρευστών, είναι εξαρθρώσεις (dislocations, ατέλειες στην τάξη θέσης) και εκκλίσεις (disclinations, ατέλειες στην τάξη προσανατολισμού) σε δισδιάστατους κρυστάλλους (Εικ. 1), είναι ηλεκτρικά φορτία στο δισδιάστατο αέριο Coulomb. Στην ψευδο-τακτοποιημένη φάση τής χαμηλής θερμοκρασίας, τοπολογικές ατέλειες με αντίθετα τοπολογικά φορτία είναι ενωμένες σε ζεύγη (δίπολα). Πάνω από την κρίσιμη θερμοκρασία, αυτά τα ζεύγη σπάνε λόγω τής θερμικής διέγερσης, και εμφανίζεται πολλαπλασιασμός ελεύθερων μεμονωμένων ατελειών που καταστρέφουν την τάξη και οδηγούν σε μια πραγματικά άτακτη φάση. Κάνοντας μία αναδρομή στον δέκατο ένατο αιώνα, θα μπορούσαμε να πούμε ότι ο Λόρδος Κέλβιν (WilliamThomson) πρέπει να νιώθει κάποια ικανοποίηση με το φετινό Νόμπελ. Το 1867 είχε προτείνει μια –εσφαλμένη– ατομική θεωρία, σύμφωνα με την οποία τα άτομα ήταν στρόβιλοι στον αιθέρα. Τα «άτομα» τής θεωρίας ΚΤ (τοπολογικές ατέλειες) θα μπορούσαν να θεωρηθούν στρόβιλοι στον «αιθέρα» τής παραμέτρου τάξης!
Ποια είναι τα άλλα ονόματα στην αλλαγή φάσης ΒΚΤΗΝΥ;
Β είναι το αρχικό τού Σοβιετικού φυσικού Vadim L. Berezinskii που ανακάλυψε τη βασική θεωρία αλλαγής φάσης επαγόμενης από τοπολογικές ατέλειες και τη δημοσίευσε έναν χρόνο πριν από τους Kosterlitz και Thouless (1971). Πέθανε το 1980 σε ηλικία 44 ετών. Αν και είχε συλλάβει σωστά τον μηχανισμό τού φαινομένου, τις ιδιότητες τής αλλαγής φάσης τις βρήκαν οι Kosterlitz και Thouless οι οποίοι δεν γνώριζαν την εργασία του, αφού αυτή είχε δημοσιευθεί στα ρωσικά. H NY είναι τα αρχικά των Bertrand I. Halperin, David R. Nelson, και A. Peter Young οι οποίοι στο τέλος τής δεκαετίας τού 1970 επεξέτειναν και βελτίωσαν τη θεωρία ΚΤ, λαμβάνοντας υπ’ όψη τη γωνιακή εξάρτηση τής αλληλεπίδρασης των τοπολογικών ατελειών. Η θεωρία τους για τη δισδιάστατη τήξη περιλαμβάνει δύο αλλαγές φάσης. Ξεκινάμε από τη φάση χαμηλής θερμοκρασίας που χαρακτηρίζεται από ψευδο-τάξη θέσης και τάξη προσανατολισμού. Πάνω από μία κρίσιμη θερμοκρασία, έχουμε πολλαπλασιασμό ελεύθερων εξαρθρώσεων που καταστρέφουν την ψευδο-τάξη θέσης αλλά αφήνουν ανέπαφη την τάξη προσανατολισμού (αυτή η ενδιάμεση φάση ονομάζεται εξατική, από την εξαπλή συμμετρία προσανατολισμού). Πάνω από μία άλλη κρίσιμη θερμοκρασία, ελεύθερες εκκλίσεις αρχίζουν να πολλαπλασιάζονται οι οποίες καταστρέφουν κάθε τάξη και οδηγούν σε μια πραγματικά άτακτη (ισοτροπική), υγρή φάση.
Σε ποια συστήματα βρίσκει εφαρμογή η θεωρία ΚΤ;
Αν και σχεδόν όλα τα άρθρα που εμφανίστηκαν στον Τύπο για το φετινό Νόμπελ αναφέρουν μόνον τη σημασία τής θεωρίας ΚΤ για μακροσκοπικά κβαντικά φαινόμενα (υπεραγωγιμότητα, υπερρευστότητα), η θεωρία είναι πολύ γενική και εφαρμόζεται σε πληθώρα πολύ διαφορετικών συστημάτων, τόσο κβαντικών όσο και κλασικών: υμένια υγρών κρυστάλλων, συστοιχίες επαφών Josephson, στερεές επιφάνειες (roughening transition, εκτράχυνση επιφάνειας), δισδιάστατοι κολλοειδείς κρύσταλλοι, συστοιχίες υπέρψυχρων ατόμων (coldatomarrays) κ.ά. Η ομορφιά της στατιστικής φυσικής των αλλαγών φάσης είναι ότι, για μια μεγάλη κατηγορία τους, αυτό που πραγματικά μετράει για τη μακροσκοπική συμπεριφορά είναι οι διαστάσεις του χώρου (2, στην περίπτωσή μας), το εύρος, και οι συμμετρίες των μικροσκοπικών αλληλεπιδράσεων. Όλες οι άλλες μικροσκοπικές λεπτομέρειες δεν παίζουν κανέναν ρόλο. Αυτή είναι η έννοια τής «οικουμενικότητας» (universality) που αποτέλεσε κεντρικό θέμα στη δουλειά τού K. G. Wilson ο οποίος βραβεύθηκε με το Νόμπελ τού 1982. Η πειραματική ή αριθμητική επιβεβαίωση τής θεωρίας ΚΤ έχει επιτευχθεί σε διάφορα συστήματα με ποικίλους βαθμούς επιτυχίας. Θα αναφέρουμε τρεις περιπτώσεις. Μία πρώτη επιβεβαίωση ήρθε το 1978 με τα πειράματα των D. J. Bishop και J. D. Reppy σε υμένια υπέρρευστου ηλίου. Πιο πρόσφατα (2007), το πλήρες σενάριο BKTHNY (κρυσταλλική-εξατική-υγρή φάση) επιβεβαιώθηκε από το εργαστήριο τού G. Maret σε κολλοειδή μαγνητικά μικροσωματίδια περιορισμένα στην διεπιφάνεια νερού/αέρα. Σημειώνουμε πως αυτά τα μικροσωματίδα έχουν διάμετρο 4,5 μικρόμετρα. Παρά τα όσα γράφτηκαν στον Τύπο για το φετινό Νόμπελ, το φαινόμενο αυτό δεν έχει τίποτα να κάνει με «υποατομικά σωματίδια» και «κβαντική δυναμική»! Τέλος, αναφέρουμε την άμεση παρατήρηση στροβίλων σε παγιδευμένα υπέρψυχρα άτομα (κβαντικό σύστημα), σύμφωνα με τη θεωρία ΚΤ, από το εργαστήριο τού Z. Hadzibabic.
Θα ήθελα να κλείσω αυτό το άρθρο με κάποιες αναμνήσεις από την αλληλεπίδρασή μου με τον J. M. Kosterlitz που τον είχα καθηγητή σε δύο μεταπτυχιακά μαθήματα στο Πανεπιστήμιο Brown. Εάν, στον καιρό του, ο Wolfgang Pauli θεωρούνταν «η συνείδηση τής φυσικής», λόγω τής αμείλικτα κριτικής στάσης του απέναντι σε κάθε ανεπαρκές επιχείρημα, στα μάτια μου, ο γνήσια σεμνός και ταπεινός καθηγητής Kosterlitz φάνταζε ως «η συνείδηση τής στατιστικής μηχανικής», λόγω τής βαθύτατα κριτικής στάσης του απέναντι σε κάθε δουλειά στον τομέα, και πρώτιστα στη δική του δουλειά. Στην αρχή αυτής τής χρονιάς, δημοσίευσε ένα εκτενές άρθρο επισκόπησης για τη φυσική τής αλλαγής φάσης ΚΤ στην επιθεώρηση Reports of Progress in Physics. Ο σχολαστικός έλεγχος «σφαλμάτων και παραλείψεων» της δικής του πρώιμης δουλειάς, όπως και η κριτική στάση του απέναντι στις επαληθεύσεις τής θεωρίας του, εντυπωσιάζουν τον αναγνώστη. Όσοι τον γνώρισαν, όμως, μπορούν αμέσως να αναγνωρίσουν τον καθηγητή που, με κάθε ευκαιρία, επεσήμαινε τις «ταχυδακτυλουργίες» (“jiggery-pokery”, η αγαπημένη του λέξη, ειπωμένη με τη χαρακτηριστική σκωτσέζικη προφορά του) πίσω από φαινομενικά αθώους υπολογισμούς.
Μια πρώιμη εκδοχή αυτού τού άρθρου δημοσιεύθηκε στην Kyungpook National University Newspaper (31/10/2016),
σε μετάφραση στα κορεατικά.
