Δευτέρα, 23 Νοεμβρίου 2020

Τι είναι η φιλοσοφία των μαθηματικών

Γράφτηκε από τον  Δημοσιεύθηκε στο Κριτική Μαθηματικά Φιλοσοφία Τεύχος 112
Ωγκύστ Ροντέν, Ο σκεπτόμενος, γλυπτό από μπρούντζο, 1881-1882, Μουσείο Ροντέν, Παρίσι.   Ωγκύστ Ροντέν, Ο σκεπτόμενος, γλυπτό από μπρούντζο, 1881-1882, Μουσείο Ροντέν, Παρίσι. Douglas O'Brien

Michele Friend, Γνωρίζοντας τη Φιλοσοφία των Μαθηματικών, μετάφραση από τα αγγλικά: Βερόνα Πέτρου, επιμέλεια: Δήμητρα Χριστοπούλου, Επίκεντρο, Θεσσαλονίκη 2020, 312 σελ.

Με το βιβλίο της για τη φιλοσοφία των μαθηματικών, η καθηγήτρια Μισέλ Φρεντ εισάγει τους αναγνώστες, αλλού εκτενέστερα και αλλού περιληπτικά, στη φιλοσοφία των μαθηματικών. Η εργασία της είναι ιδιαίτερα χρήσιμη για τους πρόθυμους αναγνώστες (και όχι μόνο για τους φοιτητές) που θα επιθυμούσαν να αποκομίσουν συγκεκριμένα γνωσιακά οφέλη από την εξοικείωσή τους με τη γνωσιακή ήπειρο της φιλοσοφίας των μαθηματικών.

Η Μισέλ Φρεντ είναι αναπληρώτρια καθηγήτρια στο Τμήμα Φιλοσοφίας, στο George Washington University των Ηνωμένων Πολιτειών της Αμερικής από το 2013 έως σήμερα. Hερευνητική της δραστηριότητα εντάσσεται κυρίως στα πεδία της Φιλοσοφίας των Μαθηματικών, της Φιλοσοφίας των Eπιστημονικών Συστημάτων και της Πληροφορικής καθώς και της Ιστορίας της Λογικής. Το παρόν μεταφρασμένο πόνημα εκδόθηκε στα Αγγλικά με τον τίτλο Introducing Philosophy of Mathematics το 2007 από τον εκδοτικό οίκο Acumen Publishers στο Ηνωμένο Βασίλειο, από τον McGill-Queens στον Καναδά και από το Cornell University Press στις Ηνωμένες Πολιτείες και επανεκδόθηκε το 2010 (το Copyright κατέχει πλέον ο Wiley-Blackwell). Μεταφράστηκε στα Ελληνικά το 2019 και εμφανίστηκε από τις εκδόσεις Επίκεντρο το 2020.

Hπαρούσα μετάφραση έγινε από την Βερόνα Πέτρου και η γενικότερη εποπτεία και επιμέλεια οφείλεται στην συνάδελφο από το Μαθηματικό Τμήμα του Ε.Κ.Π.Α., γνωστή φιλόσοφο και μαθηματικό, Δήμητρα Χριστοπούλου. Πρόκειται για προσεγμένη μεταφορά του αρχικού κειμένου στα Ελληνικά σε γλώσσα εύληπτη και ρέουσα. Ακόμη, το συγκεκριμένο μεταφρασμένο πόνημα διακρίνεται από την επιτυχή ορολογική μεταφορά εννοιών, για την οποία είναι απαραίτητη η επιστημονική επάρκεια της έχουσας την γενικότερη ευθύνη της επιμέλειας του μεταφρασμένου κειμένου.

Στα περιεχόμενα του Γνωρίζοντας τη Φιλοσοφία των Μαθηματικών περιλαμβάνονται τα εξής κεφάλαια: (1) Άπειρο, (2) Μαθηματικός Πλατωνισμός και Ρεαλισμός, (3) Λογικισμός, (4) Στρουκτουραλισμός, (5) Κονστρουκτιβισμός, και (6) Ένα Ποτ-πουρί από Φιλοσοφίες των Μαθηματικών. Ξεκινώντας με το κεφάλαιο (1), θα μπορούσαμε να τονίσουμε το εντυπωσιακό γεγονός ότι η διαπραγμάτευση της έννοιας του «απείρου» από την συγγραφέα, χωρίς να εμφανίζει κενά πληροφοριακού περιεχομένου, σε γλώσσα ρέουσα και χωρίς τεχνικές αγκυλώσεις, δεν είναι απλώς και μόνον επαρκής αλλά και πλήρης. Έτσι, σε ένα κείμενο, που είναι εύκολα προσβάσιμο από φοιτητές προπτυχιακού ή και, σε αρχικό στάδιο, μεταπτυχιακού επιπέδου, καθώς και σε σχετικώς εγγραμμάτους ενδιαφερομένους αναγνώστες, τεχνικές έννοιες όπως αυτές του «δυνητικού» και του «ενεργεία» απείρου, παρατίθενται και εξηγούνται με ελαχίστη χρήση τεχνικά δύσβατων εργαλείων. Ακόμη συζητούνται τα παράδοξα του Ζήνωνος και διακρίνονται οι έννοιες της διατακτικότητας καθώς και της πληθικότητας του απείρου. Χωρίς μία τέτοια επαρκή διάκριση είναι αδύνατη η κατανόηση του διατεταγμένου ως διαφέροντος από το πληθαριθμικά συγκεκριμένο ως προς τις άπειρες οντότητες. Και τούτο διότι, αν, επί παραδείγματι θεωρήσουμε ένα πλήθος πέντε αντικειμένων, όλες οι πιθανές αναδιατάξεις τους είναι και πληθικά και διατακτικά ισόμορφες μεταξύ τους, κάτι που δεν συμβαίνει αν θεωρήσουμε ένα άπειρο πλήθος αντικειμένων. Ενός τέτοιου πλήθους υπάρχουν αναδιατάξεις οι οποίες ενώ είναι πληθικά, δεν είναι διατακτικά ισόμορφες μεταξύ τους. Για παράδειγμα, αν θεωρήσουμε τους φυσικούς αριθμούς 1, 2, 3, ... , n, ... και τους αριθμούς 2, 3, 4, ... , n, … 1 όπου στην δεύτερη περίπτωση ο αριθμός 1 τοποθετείται διατακτικά πέραν οιουδήποτε άλλου φυσικού αριθμού, τότε οι δύο συγκροτήσεις ενώ είναι ισοπληθικές δεν είναι διατακτικά ισόμορφες.

Το δεύτερο κεφάλαιο που φέρει τον τίτλο «Μαθηματικός Πλατωνισμός και Ρεαλισμός» έχει ως αντικείμενο διαπραγμάτευσης τον πλατωνισμό ο οποίος θεωρείται ταυτόσημος με την άποψη της ρεαλιστικής, οντολογικής ή, αλλοιώς, υπαρκτικής αυτοτέλειας των μαθηματικών αντικειμένων και αληθειών. Σύμφωνα με την συγγραφέα:

Ο πλατωνισμός συνιστά τη «θεμελιώδη φιλοσοφική θεωρία» στο υπόβαθρο πολυάριθμων φιλοσοφιών των μαθηματικών η οποία λειτουργεί ως το σημείο αναφοράς τους. Οι περισσότερες φιλοσοφίες των μαθηματικών έχουν αναπτυχθεί ως κάποια μορφή αντίδρασης προς αυτόν.[1]

Είναι γεγονός ότι ο μαθηματικός πλατωνισμός ή ρεαλισμός εμφανίζεται ως διαθέτων μία προφάνεια οφειλόμενη στο θεμελιώδες γεγονός της αποδοχής του αναλλοιώτου του μαθηματικού σύμπαντος, με την έννοια ότι δεν κατασκευάζονται οι μαθηματικές οντότητες αλλά ανακαλύπτονται. Ομοίως ανακαλύπτονται οι μεταξύ τους σχέσεις. Ο μαθηματικός πλατωνισμός είναι δηλαδή, απολύτως αντισχετικιστικός, με την έννοια ότι δεν επιλέγουμε πώς να μετρήσουμε, αλλά ενεργοποιούμε αυτό που δεν θα μπορούσαμε να μην ενεργοποιήσουμε. Έτσι, οδηγούμαστε στην ανακάλυψη ενός νοητικού υπερσύμπαντος, χωρίς την, έστω στοιχειώδη κατάκτηση του οποίου θα μας ήταν αδύνατη οποιαδήποτε αντικειμενοποίηση των υπαρχόντων και των τεκταινομένων. Το μοναδικό μαθηματικό ικρίωμα είναι αυτό που μας επιτρέπει την αντισχετικιστική θέαση του κόσμου. Χωρίς αυτό θα είμαστε χαμένοι σε μια περιπτωσιολογική πληθύ εικόνων χωρίς ελπίδα για εσωτερική τακτοποίηση τους. Ίσως ακριβώς αυτό να είναι και το μυστικό της γοητείας που μας ασκεί ο πλατωνισμός.

Στο τρίτο κεφάλαιο, η συζήτηση περιστρέφεται γύρω από τον αποκαλούμενο «λογικισμό» ο οποίος, σύμφωνα με τη συγγραφέα:

εκλαμβάνεται ως μία ενδιαφέρουσα παρέκκλιση από ορισμένες πτυχές του πλατωνισμού. Συνήθως ένας λογικιστής είναι ρεαλιστής σε σχέση με την οντολογία των μαθηματικών, ωστόσο επιχειρεί να προσδώσει στα μαθηματικά ένα επιστημολογικό έρεισμα το οποίο είναι θεμελιωμένο στη λογική.[2]

Έτσι, κατά την Φρεντ, ο λογικισμός είναι μία πλατωνίζουσα φιλοσοφική άποψη σύμφωνα με την οποία το σύνολο των μαθηματικών είναι αναγώγιμο στην λογική. Η συγκεκριμένη αναγωγή έχει ως στόχο της την επιστημολογική εξηγητική ανάδειξη της λογικής ως οντολογικά πρότερης της λοιπής μαθηματικής δραστηριότητας. Παραδείγματα λογικισμών που ανεπτύχθησαν κατά το παρελθόν αποτελούν, πρώτον, ο λογικισμός του Φρέγκε και, δεύτερον, ο λογικισμός των Ουάιτχεντ και Ράσελ. Ο πρώτος αποτελεί μία όχι απολύτως επιτυχημένη προσπάθεια αναγωγής της αριθμητικής και εν μέρει και της ανάλυσης στην λογική, ενώ ο δεύτερος σχετίζεται με την προσπάθεια επιστημολογικά αποδεκτής αναγωγής του συνόλου των μαθηματικών στην λογική, μέσω της λεγόμενης «θεωρίας των τύπων», η οποία φαίνεται να έχει προβληματική υφή οφειλόμενη στην ταύτιση της λογικής με την τεχνητά παραχθείσα ιεραρχία της. Πρόκειται δηλαδή, για μία adhoc κατασκευή που δεν πείθει για την οντολογική προτερότητα της συγκεκριμένης, προτεινόμενης ιεραρχίας των τύπων. Τέλος θα μπορούσε να προστεθεί ότι η Φρεντ αναφέρεται και σε πρόσφατα υποστηριχθείσες απόπειρες νεο-λογικισμού όπως αυτές των Χέηλ και Ράιτ οι οποίες όμως φαίνεται να αποτελούν παραδείγματα προς αποφυγήν, επειδή περιστοιχίζονται από ανεπίλυτα προβλήματα σχετιζόμενα με την αναλυτικότητα της αρχής των αριθμών.

 Στο τέταρτο κεφάλαιο η Φρεντ επιχειρεί να αντιμετωπίσει διεξοδικά την φιλοσοφική άποψη η οποία είναι γνωστή ως «στρουκτουραλισμός». Έτσι, σύμφωνα με την συγγραφέα:

στο τέταρτο κεφάλαιο εξετάζουμε τα πιο πρόσφατα επιχειρήματα του στρουκτουραλισμού. Αυτά είναι δυνατόν να ερμηνευθούν ως ένα είδος ρεαλισμού το οποίο, όμως, αποφεύγει με επιδέξιο τρόπο, πολλές από τις παγίδες που σχετίζονται με τις πιο παραδοσιακές μορφές του ρεαλισμού ή του πλατωνισμού.[3]

Η κυρίαρχη φιλοσοφική άποψη η οποία είναι άμεσα συνδεδεμένη με τον στρουκτουραλισμό σχετίζεται με την θέση ότι τα μαθηματικά δεν αφορούν σε αντικείμενα (ιδιαιτέρως πρώτης τάξεως, όπως οι αριθμοί και τα γεωμετρικά σχήματα) αλλά σε δομές οι οποίες προϋπάρχουν, κατά κάποιο τρόπο, των ανηκόντων σε αυτές. Τα αντικείμενα στην προκείμενη περίπτωση δεν είναι ένσαρκα αλλά ταυτίζονται με τις θέσεις τους που ανήκουν σε μία δομή. Ως προς το οντολογικό status των δομών, η φιλοσοφική άποψη είναι δυνατόν να είναι είτε ρεαλιστική είτε αντιρεαλιστική. Τέλος, οι ουσιωδέστεροι προβληματισμοί για τον στρουκτουραλισμό αφορούν στα μαθηματικά και στην λογική που ανάγονται στο στρουκτουραλιστικό φιλοσοφικό υπόβαθρο.

Ο κονστρουκτιβισμός αντιμετωπίζεται στο πέμπτο κεφάλαιο του παρόντος βιβλίου. Σύμφωνα με τη συγγραφέα:

Ο κονστρουκτιβισμός ... αντιδρά έντονα κατά του πλατωνισμού και επί της ίδιας βάσης απορρίπτει και τον λογικισμό. Στη συγκεκριμένη περίπτωση, η έμφαση εντοπίζεται τόσο στην επιστημολογία όσο και στην οντολογία. Ο κονστρουκτιβισμός αναθεωρεί και τις δύο αυτές πτυχές της πλατωνιστικής φιλοσοφίας.[4]

Μία από τις πλέον γνωστές εκδοχές κονστρουκτιβισμού είναι αυτή του ιντουισιονισμού. Το οντολογικά αποδεκτό στον ιντουισιονιστικό σύστημα ταυτίζεται με το ιντουισιονιστικά αποδείξιμο. Το ιντουισιονιστικά αποδείξιμο διαφέρει ουσιωδώς από το αποδείξιμο της τυπικής κλασικής μαθηματικής λογικής. Οι αποδεκτοί ιντουισιονιστικοί αποδεικτικοί κανόνες είναι σαφώς λιγότεροι των αποδεικτικών κανόνων της τυπικής μαθηματικής λογικής. Επί παραδείγματι, κατά τους Ιντουισιονιστές αν επιθυμούμε να αποδείξουμε την ύπαρξη ενός συγκεκριμένου μαθηματικού αντικειμένου οφείλουμε να το κατασκευάσουμε εξ υπαρχής. Τούτο σημαίνει ότι απαγορεύεται να χρησιμοποιήσουμε την εις άτοπον απαγωγή ως αποδεικτική μέθοδο μίας υπαρκτικής πρότασης. Δηλαδή απαγορεύεται να υποθέσουμε ότι η πρόταση δεν ισχύει και στην συνέχεια, καταλήγοντας σε άτοπο, να θεωρήσουμε ότι αυτό σημαίνει ότι η πρόταση ισχύει. Δηλαδή, δεν μπορούμε να χρησιμοποιήσουμε την ταυτολογία[5] «φ ή άρνηση της φ» όπου με φ συμβολίζουμε οποιαδήποτε πρόταση (μαθηματική ή μη) διότι αυτή η λεγόμενη αρχή αποκλείσεως του τρίτου[6] δεν ισχύει στο πλαίσιο της ιντουισιονιστικής λογικής.

Για τον κονστρουκτιβιστή και ιδιαιτέρως τον ιντουισιονιστή -και σε αντίθεση με τον κλασικό μαθηματικό- οι έννοιες της αλήθειας και της απόδειξης ταυτίζονται. Το ιντουισιονιστικά αληθές είναι ταυτόσημο με το ιντουισιονιστικά αποδείξιμο και αντιστρόφως. Έτσι, το αληθές ή το ψευδές πρέπει να επιβεβαιώνεται αλγοριθμικά, πράγμα που σημαίνει ότι δεν υπάρχουν αλήθειες ή ψεύδη ανεξάρτητα από την μέθοδο πιστοποίησής τους. Είναι αυτό που οδηγεί την συγγραφέα να ισχυριστεί ότι η κονστρουκτιβιστική ή η ιντουισιονιστική αλήθεια «είναι επιστημικά περιορισμένη»[7]. Η πλέον καταλυτική κριτική εναντίον διαφόρων εκδοχών κονστρουκτιβισμού έχει να κάνει με το γεγονός ότι ο αποδεκτός αυτοπεριορισμός στην χρήση επαληθευτικών και αποδεικτικών μεθόδων έχει ρευστά χαρακτηριστικά, με αποτέλεσμα να πρέπει ο κονστρουκτιβιστής να επιλέγει «ανάμεσα σε διαφορετικούς περιορισμούς όσον αφορά τις «ορθές/αποδεκτές» αποδείξεις». Είναι αυτό ακριβώς το χαρακτηριστικό που μας αναγκάζει να παρατηρήσουμε ότι σύμφωνα με τον κονστρουκτιβιστή, τα μαθηματικά δεν ανήκουν εκεί έξω από εμάς αλλά αποτελούν κατασκευές του νου μας.

Στο έκτο κεφάλαιο, η Φρεντ αντιμετωπίζει με όχι την ίδια επάρκεια που παρατηρεί κανείς στα προηγούμενα κεφάλαια, κάποιες «παραμελημένες» (όπως τις αποκαλεί) ιδέες σχετικά με την Φιλοσοφία των Μαθηματικών. Στοχεύοντας σε μία περιγραφική αποτίμηση του έκτου κεφαλαίου, θα τονίζαμε ότι αυτό περιλαμβάνει πέραν της εισαγωγής του, τα εξής υπο-κεφάλαια: (1) Εμπειρισμός και Νατουραλισμός, (2) Φιξιοναλισμός, (3) Ψυχολογισμός, (4) Χούσερλ, (5) Φορμαλισμός, (6) Χίλμπερτ, (7) Η Μαϊνονγκιανή Φιλοσοφία των Μαθηματικών, (8) Λάκατος. Έτσι, περιλαμβάνει κάποιες Φιλοσοφίες των Μαθηματικών που δεν συναντώνται συνήθως σε παρόμοια βιβλία, όπως πχ. την Μαϊνονγκιανή Φιλοσοφία των Μαθηματικών και την προσέγγιση του Λάκατος. Όμως δεν περιλαμβάνει την φιλοσοφία των μαθηματικών του Βιτγκενστάιν, όπως η ίδια αναγνωρίζει.[8] Η διαπραγμάτευση των συγκεκριμένων θεμάτων στο έκτο κεφάλαιο είναι σχετικά σύντομη και φαίνεται να έχει ως στόχο της την μερική εξοικείωση του αναγνώστη με τα συγκεκριμένα θέματα καθώς και την παρότρυνσή του για περαιτέρω μελέτη και έρευνα. Αυτό σαφώς επιτυγχάνεται, δεδομένου ότι η σύντομη αποτύπωση σχετικών απόψεων και θέσεων δεν εμφανίζει ουσιώδεις ασάφειες ή λάθη. Επιπλέον, στο τέλος του βιβλίου, περιλαμβάνεται ένα ιδιαίτερα χρήσιμο για τον αναγνώστη Γλωσσάρι σχετικά με την τεχνική ορολογία της περιοχής.

Εν κατακλείδι, το παρόν βιβλίο αποτελεί μια εισαγωγή αλλού εκτενέστερη και αλλού περισσότερο περιληπτική, πολύτιμη όμως για τον πρόθυμο αναγνώστη που θα επιθυμούσε να αποκομίσει συγκεκριμένα γνωσιακά οφέλη, που αφορούν στην εξοικείωσή του με την γνωσιακή ήπειρο της Φιλοσοφίας των Μαθηματικών.

 


[1]Βλέπε Μισέλ Φρεντ, Γνωρίζοντας τη Φιλοσοφία των Μαθηματικών, Θεσ/κη, εκδόσεις Επίκεντρο, 2020, σ.14

[2]Στο ίδιο, σ. 14

[3]Στο ίδιο, σ. 14

[4]Στο ίδιο σ. 14

[5]Ταυτολογία στο πλαίσιο της κλασικής δίτιμης λογικής είναι μία πρόταση, η οποία είναι αληθής κάτω από οποιαδήποτε αληθειακή αποτίμησή της.

[6]Η αρχή αποκλίσεως του τρίτου είναι μία ταυτολογία για την κλασική δίτιμη λογική, μη ισχύουσα για κονστρουκτιβιστικές φιλοσοφικές εκδοχές, όπως η ιντουισιονιστική.

[7]Όπως παραπάνω, σ. 189

[8]Στο ίδιο, σ. 15

Διονύσιος Α. Αναπολιτάνος

Oμότιμος καθηγητής φιλοσοφίας και λογικής του τμήματος Ιστορίας και Φιλοσοφίας της Επιστήμης του Πανεπιστημίου Αθηνών. Βιβλία του: Εισαγωγή στη Φιλοσοφία των Μαθηματικών (1985), Leibniz: Representation, Continuity and the Spatio-temporal (1999), Λαβύρινθοι, Γνωσιολογικά Ρήγματα, Φιλοσοφικά Σπαράγματα και Παραμυθίες (2016), Φιλοσοφικές εξεικονίσεις, αφηγήσεις και σχήματα (2019).

Προσθηκη σχολιου

Τα πεδία με * είναι υποχρεωτικά