Κυριακή, 28 Ιουλίου 2019

Ανθυφαίρεση, Περάτωση του Απείρου, Περιττόν και Άρτιον

Γράφτηκε από  Δημοσιεύθηκε στο Κριτική Μαθηματικά Τεύχος 99
Ο Ευκλείδης (ο σκυμμένος φαλακρός που με τον διαβήτη σχεδιάζει έναν κύκλο στον άβακα, ορισμένοι ισχυρίζονται ότι είναι ο Αρχιμήδης), λεπτομέρεια από τη Σχολή των Αθηνών του Ραφαήλ, 1509. Το μοντέλο του ζωγράφου ήταν ο δημοφιλής αρχιτέκτονας της εποχής του, Donato Bramante (1444-1514). Ο Ευκλείδης (ο σκυμμένος φαλακρός που με τον διαβήτη σχεδιάζει έναν κύκλο στον άβακα, ορισμένοι ισχυρίζονται ότι είναι ο Αρχιμήδης), λεπτομέρεια από τη Σχολή των Αθηνών του Ραφαήλ, 1509. Το μοντέλο του ζωγράφου ήταν ο δημοφιλής αρχιτέκτονας της εποχής του, Donato Bramante (1444-1514). Stanza della Segnatura, Palazzi Pontifici, Vatican

Στέλιος Νεγρεπόντης - Βασιλική Φαρμάκη, Ιστορία Αρχαίων Ελληνικών Μαθηματικών. Από τον Θαλή στον Ευκλείδη μέσω Πυθαγορείων, Ζήνωνος, Πλάτωνος, Θεαιτήτου, Ευδόξου, Τόμος Ι, Εκκρεμές, Αθήνα 2019, 448 σελ. 

Ο πρώτος τόμος της Ιστορίας των Αρχαίων Ελληνικών Μαθηματικών των Νεγρεπόντη - Φαρμάκη δεν είναι απλώς μια ιστορική καταγραφή των όσων έλαβαν χώρα κατά την κλασική αρχαιότητα στην περιοχή των Μαθηματικών και ιδιαιτέρως της Γεωμετρίας. Έχει τα χαρακτηριστικά κοπιώδους ανεύρεσης και ανέλκυσης στοιχείων κρυμμένων βαθιά στην ύφανση κειμένων, που έφτασαν σε μας είτε ακέραια είτε ουσιωδώς αποσπασμένα από ένα corpus χαμένο, ίσως, για πάντα. Αναδημοσίευση από το Books' Journal 99, Ιούνιος 2019.

 Ο Στέλιος Νεγρεπόντης είναι Ομότιμος Καθηγητής του Τμήματος Μαθηματικών του Πανεπιστημίου Αθηνών. Η έλευση και παρουσία του στο Μαθηματικό Τμήμα υπήρξε καταλυτική για την ποιότητα και την άνοδο του Τμήματος την τελευταία πεντηκονταετία. Στα επιστημονικά του ενδιαφέροντα περιλαμβάνεται η Ιστορία των Αρχαίων Ελληνικών Μαθηματικών και η Φιλοσοφία του Πλάτωνος. Η Βασιλική Φαρμάκη είναι Καθηγήτρια του Μαθηματικού Τμήματος του Πανεπιστημίου Αθηνών. Οξύνους και εργατική συνέβαλε στην διαμόρφωση του παρόντος τόμου και, μαζί με τον Ομότιμο Καθηγητή Νεγρεπόντη, στην Α΄ Έδρα Μαθηματικής Αναλύσεως, την οποία ήδη κατείχε ο προαναφερθείς, παρήγαγε και εξακολουθεί να παράγει σημαντικό ερευνητικό έργο. Στα επιστημονικά της ενδιαφέροντα περιλαμβάνεται επίσης η Ιστορία των Αρχαίων Ελληνικών Μαθηματικών.

Το παρόν πόνημα αποτελεί το πρώτο μέρος μίας σχετικά ογκώδους Ιστορίας των Αρχαίων Ελληνικών Μαθηματικών, η οποία, όταν ολοκληρωθεί, και σύμφωνα με τις ισχυρές ενδείξεις που εμπεριέχονται σε αυτόν τον πρώτο τόμο, θα αποτελεί μία ρηξικέλευθα νέα αντιμετώπιση του φαινομένου της εμφάνισης των Μαθηματικών, ως οργανωμένης επιστήμης, στην ιστορία του ανθρωπίνου γένους. Η παρούσα, δηλαδή, προσπάθεια, το πρώτο μέρος της οποίας έχουμε στα χέρια μας, δεν αποτελεί απλή ιστορική καταγραφή των όσων έλαβαν χώρα κατά την κλασική αρχαιότητα στην περιοχή των Μαθηματικών και ιδιαιτέρως της Γεωμετρίας. Έχει τα χαρακτηριστικά κοπιώδους ανεύρεσης και ανέλκυσης στοιχείων κρυμμένων βαθιά στην ύφανση κειμένων, που έφτασαν σε μας είτε ακέραια είτε ουσιωδώς αποσπασμένα από ένα corpus χαμένο, ίσως, για πάντα.

 

Ευκλείδης και Πυθαγόρας

Στον ανά χείρας τόμο περιέχονται μια αρκετά σύντομη Εισαγωγή και, πέραν των Αρχαίων Πηγών, της Σύγχρονης Βιβλιογραφίας του Ευρετηρίου αρχαίων συγγραφέων και χωρίων και του Ευρετηρίου σύγχρονων συγγραφέων, εννέα κεφάλαια με καταληκτικό αυτό της ανθυφαιρετικής φύσης της Πυθαγόρειας φιλοσοφίας. Στο πρώτο κεφάλαιο συναντούμε μία αρκετά περιεκτική και εμπεριστατωμένη εισαγωγή στα Αρχαία Ελληνικά Μαθηματικά, βασισμένη στη «Σύνοψη της Ιστορίας των Αρχαίων Ελληνικών Μαθηματικών» την οποία παρουσιάζει ο Πρόκλος στο έργο του, Σχόλια στο Πρώτο Βιβλίο των Στοιχείων του Ευκλείδη.

Στο δεύτερο κεφάλαιο περιλαμβάνεται η Ευκλείδεια Θεωρία Λόγων Αριθμών και οι Σύγχρονοι Ρητοί Αριθμοί. Σύμφωνα με τους συγγραφείς, η μελέτη τους ξεκινά από το Έβδομο Βιβλίο των Στοιχείων του Ευκλείδη «γιατί η μεν γεωμετρία του Θαλή γρήγορα ενσωματώνεται στην Πυθαγόρεια γεωμετρία, που ακολούθησε, αλλά η Πυθαγόρεια αριθμητική η οποία περιγράφεται στο Έβδομο Βιβλίο, προηγείται της Πυθαγόρειας γεωμετρίας» που, όπως τεκμηριώνεται στο Κεφάλαιο 3, έχει αρχαιότερες ρίζες (σελ. 31).

Στο κεφάλαιο 3, οι συγγραφείς επιχειρούν να απαντήσουν σε προβλήματα ασυνεχειών που προκύπτουν από την τελική παρουσίαση από τον Ευκλείδη, στο Έβδομο Βιβλίο, της βασικής θεωρίας αριθμών, ως τελικού προϊόντος, χωρίς καμία εντός κειμένου σχετική ένδειξη για το πώς επιτεύχθηκε αυτό το τελικό προϊόν. Έτσι, στο τρίτο κεφάλαιο, το οποίο τιτλοφορούν «Από τα Μουσικά Διαστήματα των Πυθαγορείων στους Λόγους Αριθμών των Στοιχείων», φθάνουν οι συγγραφείς «αναζητώντας την πρώιμη μορφή που μπορεί να είχε αυτή η θεωρία λόγων αριθμών» κατευθυνόμενοι «στην μουσική με την οποία οι Πυθαγόρειοι είχαν ιδιαίτερα ασχοληθεί» (σελ. 85).

Στο κεφάλαιο 4 εξετάζεται η Ευκλείδεια Γεωμετρία χωρίς το Πέμπτο Αίτημα, σύμφωνα με το οποίο, δοθεισών «δύο (διαφορετικών) ευθειών, αν υπάρχει ευθεία η οποία τέμνει και τις δύο ευθείες κατά τρόπον ώστε το άθροισμα δύο εντός και επί τα αυτά μέρη γωνιών να είναι μικρότερο από δύο ορθές γωνίες, τότε οι δύο ευθείες προεκτεινόμενες επ’ άπειρον θα έχουν ένα κοινό σημείο, προς το μέρος που βρίσκονται οι γωνίες με άθροισμα μικρότερο από δύο ορθές» (σελ. 177). Με μία άλλη ισοδύναμη διατύπωση, άθροισμα δύο εντός και επί τα αυτά μέρη γωνιών ίσο με δύο ορθές γωνίες συνεπάγεται ότι οι δύο ευθείες προεκτεινόμενες επ’ άπειρον ουδέποτε συναντώνται.

Στο κεφάλαιο 5 εξετάζονται και συζητούνται το Πέμπτο Αίτημα Προ Ασυμμετρίας και οι συνέπειές του. Ακόμη συζητείται η ανακάλυψη του Πυθαγορείου θεωρήματος η οποία από τον Πρόκλο αποδίδεται στον Πυθαγόρα. Στο Κεφάλαιο 6 εξετάζεται και συζητείται η Πυθαγόρεια Παραβολή Χωρίων, καθώς και η σχέση της με τη Γεωμετρική Άλγεβρα, η οποία αναδύθηκε ως τέτοια όταν γνωστοί μελετητές διετύπωσαν την θέση «ότι η θεωρία των γνωμόνων του Δευτέρου Βιβλίου των Στοιχείων αποτελεί ένα είδος Άλγεβρας σε γεωμετρική μορφή την οποία απεκάλεσαν Γεωμετρική Άλγεβρα» (σελ. 271).

Στο κεφάλαιο 7 εξετάζεται με εμβρίθεια και εξαιρετική διεισδυτικότητα η Άπειρη Ανθυφαίρεση και η σχέση της με την Πυθαγόρεια Ασυμμετρία. Η προτεινόμενη λύση τεκμηριώνεται ισχυρά και καταδεικνύεται ότι η μη περατούμενη ανθυφαίρεση (όπως στην περίπτωση της σύγκρισης της διαμέτρου και της πλευράς τετραγώνου) αποτελεί συστατικό επιστημολογικής ανάδειξης της υποβόσκουσας ασυμμετρίας.

Στο κεφάλαιο 8 εξετάζεται η Ιδιότητα Pell των Ρητών Διαμέτρων και η Πυθαγόρεια Μαθηματική Επαγωγή. Διαπιστώνεται και επισημαίνεται η ουσιώδης διαφορά μεταξύ της Πυθαγόρειας μαθηματικής επαγωγής και της σύγχρονης αρχής της μαθηματικής επαγωγής, σύμφωνα με την οποία η πρώτη αναφέρεται στην απόδειξη κάθε βήματος μετάβασης από τον φυσικό αριθμό ν στον ν+1, πράγμα που σημαίνει ότι το μήκος της αντίστοιχης συνολικής απόδειξης τείνει στο άπειρο, ενώ, σύμφωνα με τη σύγχρονη αρχή της μαθηματικής επαγωγής, η ποσόδειξη δεν αναφέρεται στο μήκος των επί μέρους αποδείξεων, αλλά εσωτερικοποιείται στην ίδια τη διατύπωση της αρχής.

Τέλος, στο κεφάλαιο 9, που τιτλοφορείται «Η Ανθυφαιρετική Φύση της Πυθαγόρειας Φιλοσοφίας», τεκμηριώνεται επαρκώς και πλήρως «ότι οι δύο Πυθαγόρειες αρχές Άπειρον και Πέρας αντιστοιχούν, το μεν Άπειρον στην άπειρη ανθυφαίρεση διαμέτρου προς πλευρά τετραγώνου, το δε Πέρας στην διατήρηση σε κάθε στάδιο της ανθυφαιρετικής διαδικασίας του σχήματος και της μορφής» (βλέπε σ. 401).

 

Θεματολογικά μοτίβα

Στο παρόν πόνημα, εκτός από την απίστευτα λεπτομερή και λεπτοφυή έρευνα και την κυριολεκτικά κοπιώδη ανάλυση των αντίστοιχων κειμένων, την ύπαρξη των οποίων μπορεί ευθέως να διαπιστώσει κανείς, υπάρχουν θεμελιώδη σημασιολογικά και θεματολογικά μοτίβα που οφείλονται, αφ’ ενός, στη φύση του αντικειμένου της συγκεκριμένης πολυετούς έρευνας και, αφ’ ετέρου, στην αφοσίωση και στην επιστημονική επάρκεια των συγγραφέων. Θα αναφερθούμε σε τρία απ’ τα μοτίβα αυτά, τα οποία θεωρούμε ότι χαρακτηρίζουν τον ανά χείρας πρώτο τόμο της Ιστορίας των Αρχαίων Ελληνικών Μαθηματικών των Νεγρεπόντη και Φαρμάκη.

Το πρώτο αναφέρεται στην ανθυφαίρεση ή, κατά τον Αριστοτέλη, ανταναίρεση, που διατρέχει ερμηνευτικά ολόκληρο το παρόν εκτεταμένο κείμενο. Πρόκειται για την άπειρη ανθυφαίρεση, που αποτελεί χαρακτηριστικό της ταυτότητας ασυμμέτρων μεγεθών, όπως αυτών της πλευράς και της διαγωνίου τετραγώνου. Στο συγκεκριμένο παράδειγμα, πρόκειται στην ουσία για την άπειρη ανθυφαιρετική αναλυσιμότητα της τετραγωνικής ρίζας του 2, ενός αλγεβρικού αρρήτου αριθμού, που αποτελεί λύση της δευτεροβάθμιας εξίσωσης x2-2=0. Θα πρέπει να λεχθεί ότι οι συγγραφείς, δικαίως, θεωρούν ότι στην περίπτωση της χρήσης της συγκεκριμένης μεθόδου για την εύρεση του μέγιστου κοινού διαιρέτη δύο θετικών ακεραίων αριθμών, η συγκεκριμένη ανθυφαιρετική διαδικασία ταυτίζεται με τον Ευκλείδειο αλγόριθμο, ο οποίος και έχει πεπερασμένο περιεχόμενο και χαρακτήρα.

Το δεύτερο αναφέρεται στην περάτωση του απείρου. Ο όρος έχει να κάνει με τη δυνατότητα περατοκρατικού ελέγχου του απείρου, ως μόνης διεξόδου για τη νοητική κυριαρχία του ανθρώπου, ως πεπερασμένου ελλόγου όντος, επί του, αδύνατον να εξαντληθεί μετρούμενο, απείρου. Το πρώτο εντυπωσιακό παράδειγμα ενός τέτοιου ελέγχου είναι αυτό της παραλληλίας δύο ευθειών, η ψευδοεμπειρική διαπίστωση της οποίας θα εσήμαινε την, αδύνατον να λάβει χώραν, εξάντληση των ευθειών αυτών και προς τις δύο κατευθύνσεις, χωρίς αυτές να είναι δυνατόν να συναντηθούν. Αντ’ αυτού παρέχεται η δυνατότητα περατοκρατικού ελέγχου της παραλληλίας διά της απλής διαπιστώσεως ότι το άθροισμα δύο εντός και επί τα αυτά γωνιών, που σχηματίζει οποιαδήποτε ευθεία τέμνουσα τις δύο παράλληλες, είναι ίσο με δυο ορθές γωνίες. Το δεύτερο παράδειγμα ενός περατοκρατικού ελέγχου του απείρου είναι αυτό που παρέχεται από την πεπερασμένη διαπίστωση ότι κάθε συγκεκριμένος κόμβος μίας άπειρης επαλληλίας ισομηκών γνωμόνων αποτελείται από έναν, εξ ίσου, συγκεκριμένο περιττό αριθμό, π.χ. τον 7, που εκφράζει, αντιστοίχως, το τετράγωνο του αριθμού 4, δηλαδή τον 16. Ακολουθώντας τον Πυθαγόρειο τρόπο παράστασης αυτής της άπειρης ακολουθίας ισοπλεύρων γνωμόνων θα λέγαμε ότι ο στοιχειωδέστερος τέτοιος γνώμονας θα ήταν ταυτόσημος με μία κουκίδα, ο αμέσως επόμενός του με τρεις κουκίδες, τοποθετημένες έτσι ώστε να σχηματίζουν ένα γνώμονα με κορυφή μία εκ των κουκίδων και πλευρές αποτελούμενες από δύο κουκίδες της κορυφής συμπεριλαμβανομένης, ο αμέσως μεθεπόμενός του με πέντε κουκίδες, τοποθετημένες έτσι ώστε να σχηματίζουν έναν γνώμονα με κορυφή μία εκ των κουκίδων και πλευρές αποτελούμενες από τρεις κουκίδες της κορυφής συμπεριλαμβανομένης, και ούτω καθ’ εξής. Το τρίτο παράδειγμα αναφέρεται στην ανθυφαιρετική σύγκριση πλευράς και διαμέτρου τετραγώνου, όπου, ενώ η διαδικασία είναι άπειρη, η μορφή της εξίσωσης που εκφράζει αυτή τη διαδικασία είναι σταθερή και συγκεκριμένη. Ένα τελευταίο παράδειγμα περατοκρατικού ελέγχου του απείρου, παρ’ ότι δεν συναντάται στους αρχαίους, έχει να κάνει, σύμφωνα με τους συγγραφείς, με τη σύγχρονη μαθηματική επαγωγή, όπου η ποσόδειξη από την άπειρη ακολουθία επαλλήλων αποδείξεων μεταφέρεται στο εσωτερικό μίας και μόνον απόδειξης, διά της οποίας πιστοποιείται ότι, αν κάτι ισχύει για τον αριθμό 1 και αποδεικνύεται ότι ισχύει για τον φυσικό αριθμό ν+1 με την υπόθεση ότι ισχύει για τον ν, τότε ισχύει για κάθε φυσικό αριθμό ν.

Τέλος, το τρίτο σημασιολογικό και θεματολογικό μοτίβο που εμφανίζεται στον παρόντα τόμο είναι αυτό της διάκρισης του περιττού από το άρτιο, όπου το περιττό αναφέρεται στο πεπερασμένο και το άρτιο στο άπειρο. Το κλασικό παράδειγμα για μία τέτοια διάκριση αποτελεί, ξανά, αυτό των ισομηκών γνωμόνων. Ο πρώτος γνώμονας, όπως ήδη ελέχθη, απετελείτο από μία κουκίδα, ο δεύτερος από τρεις, ο τρίτος από πέντε, ο τέταρτος από επτά και ούτω καθ’ εξής επ’ άπειρον. Το πεπερασμένο, ως περιττό, εξεφράζετο από κάθε επί μέρους συγκεκριμένο γνώμονα, το άπειρο, ως άρτιο, εξεφράζετο από την άπειρη ακολουθία των γνωμόνων αυτών.

 

 

 

 

Περισσότερα σε αυτή την κατηγορία:
Τα μαθηματικά για όλους

Προσθηκη σχολιου

Τα πεδία με * είναι υποχρεωτικά